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2019考研數學大綱解析之線性代數命題點

  摘要:2019考研數學大綱于9月15日發布,關注大綱解析,獲取大綱變化,考研幫為你持續關注。

  一年一度的考研數學大綱如期而至,你做好準備了嗎?考研大綱的出爐代表著考研已經進入到全面復習階段。但是同學們對考研的命題思路有所了解嗎?知道側重于哪些章節出題,出什么樣的類型題嗎?下面一起根據考研大綱來分析下線性代數的命題思路。

  首先要明確現代的考題類型為2道選擇、1道填空和2道大題。

  其次要明確向量空間是數一比數二數三多考的內容,那其他題目在設置上有區別嗎?答案是,有。這個區別要看當年數一的試卷中考不考向量空間的題目,如果考,那三套試卷的題目不一樣,如果不考,則一樣,而向量空間是低頻考點,近15年只考了5道題,也就是說這五年的不一樣,其余10年考的題目都一樣。所以,數三的難度在向數一數二看齊,趨于同難度化。

  下面分章節分析出題點:

  第一章行列式在考研大綱中的考試內容為:行列式的概念和基本性質、行列式按行(列)展開定理,考試要求為:了解行列式的概念,掌握行列式的性質、會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式。

  行列式是線性代數學科的基礎和運算工具,是出小題的點,數值型和抽象型計算行列式都有可能,考頻中等。但不要忽視行列式,它可以是大題的一個步驟,比如通過計算方程組系數矩陣的行列式來分析參數不同取值下方程組解的情況。所以行列式是基礎。

  第二章矩陣考試內容為:矩陣的概念、矩陣的線性運算、矩陣的乘法、方陣的冪、方陣乘積的行列式、矩陣的轉置、逆矩陣的概念和性質、矩陣可逆的充分必要條件、伴隨矩陣、矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的秩、矩陣的等價、分塊矩陣及其運算。

  矩陣也是基礎部分,出小題的點,可能給出矩陣方程來求逆矩陣或伴隨矩陣,初等變換也是出選擇題的點,要會求一個矩陣的逆矩陣,掌握秩的概念并且會求一個矩陣的秩。著重掌握對稱矩陣及正交矩陣的性質。并且要掌握矩陣在解方程組和相似矩陣中的應用,

  第三章向量考試內容:向量的概念、向量的線性組合與線性表示、向量組的線性相關與線性無關、向量組的極大線性無關組、等價向量組、向量組的秩、向量組的秩與矩陣的秩之間的關系、向量空間及其相關概念(數一)、維向量空間的基變換和坐標變換(數一)、過渡矩陣(數一)向量的內積、線性無關向量組的正交規范化方法、規范正交基、正交矩陣及其性質。

  從向量這一章開始出大題,向量單獨出大題的概率很低,但它可以和方程組結合出題。這一章重點掌握向量的線性表出、線性相關和線性無關與向量組的秩、矩陣和行列式的關系,掌握證明向量組無關的不同方法。

  前三章本質上都是在為解決線性方程組服務,是解方程組的工具,通過這一點也可以看出線性方程組才是線性代數這一學科的核心,必考大題的章節,我們來繼續往下分析。

  第四章線性方程組考試內容:線性方程組的克拉默(Cramer)法則、齊次線性方程組有非零解的充分必要條件、非齊次線性方程組有解的充分必要條件、線性方程組解的性質和解的結構、齊次線性方程組的基礎解系和通解、解空間、非齊次線性方程組的通解。

  線性方程組是線性代數的核心章節,近15年有14年都考了方程組的一道大題,所以方程組是我們復習的重點。考題中不會只給出一個其次或非齊次的方程去求解,這樣有些太簡單了。在考題中會設置障礙來增加難度,比如系數矩陣中含有參數,比如給出一個方程組的解,去求相關方程組的解,或者近幾年將矩陣的問題轉化成方程組去解答等。對于同解和公共解掌握基本的題型和方法就好,考頻低。

  第五章矩陣的特征值和特征向量考試內容:矩陣的特征值和特征向量的概念、性質,相似變換、相似矩陣的概念及性質、矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣、實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣。

  這一章開始是第二個出大題的點,可能單獨出題,也可能和二次型結合出題。要會計算矩陣的特征值和特征向量,知道它們和方程組和秩的關系,要會判定一個矩陣是否能相似對角化,如果能,要會求對角矩陣和P矩陣。實對稱矩陣可以用正交矩陣相似對角化,在求Q矩陣時先求出特征向量,再進行正交化和單位化。

  第六章二次型考試內容:二次型及其矩陣表示、合同變換與合同矩陣、二次型的秩、慣性定理、二次型的標準形和規范形、用正交變換和配方法化二次型為標準形、二次型及其矩陣的正定性。

  第六章作為同樣出大題的點,要掌握正交變化法將二次型化成標準型,會求C矩陣,求它們的重點是理解正交變換法將二次型化成標準型與正交矩陣的相似對角化的聯系。掌握矩陣合同的充要條件,正定的定義,會證明矩陣正定。

  以上是結合考研大綱對各章命題點的分析,同學們在做真題的過程中要注重總結題型和方法,反復做真題,一定會有預期的收獲,加油!

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